Faktorial dan Kaidah Pencacahan – Materi Matematika Kelas 12

Dalam Matematika Wajib Kelas 12, kita akan bertemu dengan materi permutasi dan kombinasi, dengan begitu kita harus paham mengenai rumus dan notasi faktorial.

Pernah ketemu koper atau brankas yang kunci pengamannya pake kombinasi nomor? Bisa elo bayangkan nggak berapa kemungkinan cara untuk buka kuncinya? Hal itu berkaitan dengan materi kaidah pencacahan kelas 12, lho.

contoh aplikasi faktorial dalam permutasi dan kombinasi zenius
Contoh kunci pengaman dengan nomor kombinasi (dok. pixnio.com/Bicanski)

Singkatnya gini nih biar elo ngerti. Ada nomor kombinasi untuk membuka koper, brankas, atau barang-barang berharga lainnya. Ada 4 kombinasi nomor yang bisa digunakan untuk membuka kuncinya.

Bayangin elo gak tahu nih berapa nomornya. Kira-kira ada berapa kemungkinan cara untuk membuka kunci tersebut?

Gimana cara menghitung kemungkinannya? Elo cukup mengalikan semua kemungkinannya. Di kunci tersebut ada 4 kombinasi nomor atau slot, masing-masing slotnya ada 10 nomor. 

Berarti kita cukup mengalikan 10 kemungkinan pangkat 4.

10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 cara.

Jadi, ada 10.000 cara dengan berbagai kombinasi nomor untuk membuka kunci tersebut. Maka dari itu, semakin banyak slot atau kombinasi nomor, akan semakin ketat juga pengamanannya. 

Nah, cara untuk menentukan berbagai kemungkinan membuka kunci tersebut dinamakan “Kaidah Pencacahan”. Sampai sini ngerti sedikit kan tentang materi ini?

Materi kaidah pencacahan kelas 12 mungkin akan jadi salah satu jenis soal yang ada di TPS (Tes Potensi Skolastik) UTBK, lho. Nggak usah pakai lama yuk langsung aja ke pembahasan lengkapnya.

Apa Itu Kaidah Pencacahan?

Secara analogi, elo udah tahu apa itu kaidah pencacahan. Lalu, apa sih arti yang sebenarnya? 

Kaidah pencacahan adalah cabang matematika yang membahas tentang aturan menghitung banyaknya susunan atau kombinasi suatu objek tanpa harus merinci semua kemungkinan susunannya. 

BACA JUGA :  Jehian Panangian Sijabat, Belajar dari Masa Krisis

Sekarang coba elo bayangkan kalau harus merinci semua kemungkinan cara untuk membuka kunci di atas, ada 10.000 cara, tentunya akan membutuhkan banyak waktu dan ketelitian yang lebih kan? Maka dari itu, ada cara mudahnya yaitu dengan kaidah pencacahan.

Dalam kaidah pencacahan kelas 12 yang akan elo pelajari, terdapat aturan yang dipakai dalam menghitung. Ada aturan yang boleh berulang dan tidak boleh berulang

Untuk aturan yang boleh berulang, elo bisa menghitung seperti cara di atasー10 x 10 x 10 x 10ー dan untuk yang tidak boleh berulang, misalnya ada kode koper yang dalam setiap slot tidak boleh ada nomor yang sama, berarti perhitungannya 10 x 9 x 8 x 7 = 5.040 cara.

Elo harus tahu juga nih dalam kasus apa suatu kejadian boleh berulang dan tidak boleh berulang. Elo akan pelajari lebih jauh tentang aturan pencacahan kelas 12 setelah pembahasan tentang faktorial di bawah ini.

Apa Itu Faktorial?

Di dalam kaidah pencacahan, elo akan mempelajari tentang aturan penjumlahan dan perkalian, faktorial, permutasi, dan kombinasi. 

Berhubung di jenjang pendidikan sebelumnya (SD dan SMP) elo udah belajar tentang penjumlahan dan perkalian, jadi di materi kaidah pencacahan kelas 12  ini nggak perlu dibahas lagi ya. Kita langsung masuk aja ke faktorial.

Sebenarnya materi faktorial ini nggak susah kok, karena elo hanya perlu basic penjumlahan dan perkalian. Definisi faktorial adalah suatu bilangan asli atau bulat positif n, yang dinyatakan dengan n! (dibaca n faktorial), didefinisikan sebagai:

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x … x (n-1) x n

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:

n! = n x (n-1)!

Contohnya gini, kalau ada bentuk perkalian 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, jika dijabarkan maka akan panjang, sehingga kurang efisien. Nah, untuk mengefisienkan bentuk tersebut, ada yang namanya faktorial. 

BACA JUGA :  Cara Kerja Penghapus Juga Pakai Ilmu Fisika Lho

Dari perkalian tersebut, kita hanya perlu menuliskan 6!, di mana tanda seru “!” merupakan ciri khas atau notasi faktorial. 

Sekarang kalau ditanya berapakah hasil dari 15! atau 40!? Kalau kita rinci dalam bentuk perkalian pasti akan panjang kan? Lalu, gimana cara perhitungan yang lebih efisiennya? Oke, kita pelajari di poin selanjutnya ya.

 Intinya elo harus paham sama materi ini, karena materi peluang, faktorial, permutasi dan kombinasi saling berhubungan nantinya.

Rumus Faktorial

Ada pernyataan seperti ini, “Kalau kita mau menghitung hasil dari faktorial, bukankah kita harus menguraikannya terlebih dahulu ya? Sama aja dong gak efisien?”. Apakah benar begitu? Mari kita buktikan.

Kita gunakan cara pertama yang harus menguraikan satu per satu terlebih dahulu:

Faktorial dan Kaidah Pencacahan - Materi Matematika Kelas 12 17

Sekarang, kita gunakan cara yang lebih efisien:

Faktorial dan Kaidah Pencacahan - Materi Matematika Kelas 12 18

Lebih mudah menggunakan cara yang kedua, kan? Sebenarnya memang gak jauh beda, tapi dengan menggunakan faktorial, elo akan lebih mudah menghemat waktu perhitungan.

Video Belajar: Faktorial

Aturan Pencacahan Boleh Berulang dan Tidak Boleh Berulang

Belajar tentang kaidah pencacahan, perlu juga dong belajar aturannya. Sebelumnya, kita udah bahas juga tentang dua aturan pencacahan, ada yang berulang dan tidak boleh berulang. 

Untuk menguraikan analogi sebelumnya, kita langsung masuk ke contoh kasusnya. Perhatikan kedua kasus di bawah ini!

  1. Pencacahan Boleh Berulang

Untuk aturan yang pertama, contohnya adalah kombinasi dari susunan huruf UUD, TATA, INDONESIA, PPKM, dll. 

Nah, jumlah susunan kata dari huruf-huruf di dalam kata tersebut boleh berulang. Berarti elo bisa menghitungnya langsung dikalikan sesuai jumlah huruf. Misalnya kata TATA menjadi 4 x 4 x 4 x 4 = 256 cara penyusunan.

  1. Pencacahan Tidak Boleh Berulang

Sedangkan, untuk aturan yang kedua, susunan huruf tidak boleh diulang. Contohnya pada huruf ROTI, TAHUN, PROGRAM, dll yang tidak ada huruf berulang.

BACA JUGA :  Rumus Gaya Lorentz dalam Fisika Beserta 3 Contoh Soal

Maka, perhitungannya dilakukan dengan mengurangi setiap huruf yang udah diambil di kolom sebelumnya. Misalnya kata ROTI menjadi 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara penyusunan.

Berikut adalah cuplikan ilustrasi dari video belajar sobatcloud.com tentang Pencacahan dengan dan Tanpa Pengulangan.

faktorial kombinasi dan permutasi zenius
Cuplikan video materi sobatcloud.com tentang Dasar-Dasar Mencacah

Elo bisa belajar lewat video seperti di atas di website atau aplikasi sobatcloud.com secara GRATIS, yang penting elo punya akun (log in atau sign in) untuk mengakses ribuan video pembelajarannya.

Oh iya biar makin yakin dan lebih mendalam lagi belajar untuk persiapan UTBK, langsung kepo-in materi lengkapnya. Tinggal klik banner di bawah, elo bisa belajar nggak cuma materi pencacahan kelas 12 tapi banyak materi lainnya.

Pelajari materi Matematika di video materi belajar Zenius
Klik banner di atas!

Oke, segitu dulu uraian mengenai faktorial yang termasuk dalam kaidah pencacahan. Setelah elo memahami materi ini, gue yakin elo akan lebih mudah dalam memahami materi peluang, permutasi dan kombinasi. 

Semoga uraian di atas bermanfaat buat elo ya, sampai jumpa di artikel-artikel selanjutnya. Selamat belajar!

Baca Juga Artikel Lainnya

Apa itu Dimensi Tiga: Definisi, Rumus, Jarak, dan Sudut

Aplikasi Integral: Cara Menghitung Volume Benda

Aplikasi Integral: Cara Menghitung Integral Luas


Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *